Hai ví dụ của tập hợp chứa 4 điểm trên mặt phẳng (các đỉnh của một hình vuông và các đỉnh của một tam giác đều cùng với trọng tâm của tam giác), các hệ số là lời giải cho hệ phương trình tuyến tính của tọa độ các điểm này, và phân chia Radon được xác định bởi dấu của các hệ số: các điểm có hệ số dương tạo thành một tập và các điểm còn lại tạo thành tập thứ hai.

Xét một tập { x 1 , x 2 , … , x d + 2 } ⊂ R d {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{d+2}\}\subset \mathbf {R} ^{d}} bất kì gồm d + 2 điểm trong không gian d chiều. Tồn tại các hệ số a1, ..., ad + 2, sao cho không phải tất cả đều bằng 0, và là lời giải cho hệ phương trình tuyến tính sau đây

∑ i = 1 d + 2 a i x i = 0 , ∑ i = 1 d + 2 a i = 0 , {\displaystyle \sum _{i=1}^{d+2}a_{i}x_{i}=0,\quad \sum _{i=1}^{d+2}a_{i}=0,}

do chỉ có d + 2 ẩn số (các hệ số) nhưng chỉ có d + 1 phương trình (một phương trình cho mỗi tọa độ cùng với một phương trình yêu cầu tổng các hệ số bằng 0). Chọn một lời giải bất kì a1, ..., ad + 2. Đặt I là tập hợp các điểm có hệ số dương, và J là tập hợp các điểm có hệ số nhỏ hơn hoặc bằng 0. Khi đó I và J tạo thành phân chia cần tìm với bao lồi giao nhau.

Bao lồi của I và J giao nhau do chúng cùng chứa điểm

p = ∑ i ∈ I a i A x i = ∑ j ∈ J − a j A x j , {\displaystyle p=\sum _{i\in I}{\frac {a_{i}}{A}}x_{i}=\sum _{j\in J}{\frac {-a_{j}}{A}}x_{j},}

trong đó

A = ∑ i ∈ I a i = − ∑ j ∈ J a j . {\displaystyle A=\sum _{i\in I}a_{i}=-\sum _{j\in J}a_{j}.}

Vế trái của công thức cho p viết nó dưới dạng tổ hợp lồi của các điểm trong I, và vế phải viết nó dưới dạng tổ hợp lồi của các điểm trong J. Do đó p nằm trong cả hai bao lồi.

Chứng minh này cũng cho một thuật toán tìm điểm Radon trong thời gian đa thức của số chiều, bằng cách sử dụng phép khử Gauss hoặc các thuật toán hiệu quả khác để giải hệ phương trình tuyến tính.[1]